贝塞尔曲线（Bézier Curve）是一种由控制点定义的参数化曲线，广泛应用于计算机图形学、动画设计和工程建模等领域。其核心数学原理和常见应用如下：
一、数学原理
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定义
贝塞尔曲线由一组控制点 ( P_0, P_1, \dots, P_n ) 定义，阶数为 ( n )（控制点数减一）。曲线的参数方程通过伯恩斯坦多项式（Bernstein Polynomials）描述：
[
B(t) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (1-t)^{n-i} t^i P_i, \quad t \in [0,1]
]
其中 ( \binom{n}{i} ) 是二项式系数。 -
常见类型
- 一阶（线性）：两点直线，( B(t) = (1-t)P_0 + tP_1 )。
- 二阶（二次）：三个控制点，抛物线形状。
- 三阶（三次）：四个控制点，最常用，灵活且计算高效。
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特性
- 端点性质：曲线始终通过首尾控制点 ( P_0 ) 和 ( P_n )。
- 凸包性：曲线完全位于控制点的凸包内。
- 仿射不变性：对控制点进行线性变换（如旋转、缩放）等价于变换曲线。
- 递归计算：可通过德卡斯特里奥算法（de Casteljau）高效求值。
二、应用场景
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计算机图形学
- 矢量图形：SVG、PostScript等格式用贝塞尔曲线描述平滑路径。
- 字体设计：TrueType和OpenType字体轮廓由二次或三次贝塞尔曲线构成。
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动画与UI设计
- 运动轨迹：定义物体平滑移动路径（如CSS动画中的
cubic-bezier()）。 - 缓动函数：控制动画速度变化（如缓入缓出效果）。
- 运动轨迹：定义物体平滑移动路径（如CSS动画中的
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工业设计
- 汽车/航空建模：用于曲面造型（如NURBS的基础是贝塞尔曲线的推广）。
- 产品外观：手机、家电的曲线轮廓设计。
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工程与仿真
- 机器人路径规划：生成平滑的运动轨迹。
- 道路设计：高速公路或铁路的缓和曲线。
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游戏开发
- 角色移动：NPC的巡逻路径。
- 特效生成：粒子系统的运动轨迹。
三、优缺点
- 优点：
- 数学形式简洁，易于计算和实现。
- 通过调整控制点直观修改曲线形状。
- 缺点：
- 高阶曲线计算复杂度高（通常分解为低阶曲线拼接）。
- 局部修改控制点会影响整条曲线（B样条可解决此问题）。
四、扩展知识
- B样条曲线：在贝塞尔曲线基础上引入节点向量，支持局部控制。
- NURBS（非均匀有理B样条）：结合权重参数，可精确描述圆锥曲线。
贝塞尔曲线因其数学优雅和实用性，成为现代数字化设计的基石之一。
