矩阵乘法原理与C语言实现详解

矩阵乘法原理

矩阵乘法是线性代数中的基本运算之一。对于两个矩阵A和B，当且仅当A的列数等于B的行数时，才能进行矩阵乘法运算。

矩阵乘法定义

设A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，那么它们的乘积C=AB是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列元素为：

C[i][j] = Σ(A[i][k] * B[k][j])，其中k从1到n

矩阵乘法性质

不满足交换律：一般情况下，AB ≠ BA
满足结合律：(AB)C = A(BC)
满足分配律：A(B+C) = AB + AC
与标量乘法兼容：k(AB) = (kA)B = A(kB)

C语言实现矩阵乘法

基本实现

#include <stdio.h>

#define ROW_A 3
#define COL_A 2
#define ROW_B 2
#define COL_B 3

void matrix_multiply(int a[ROW_A][COL_A], int b[ROW_B][COL_B], int result[ROW_A][COL_B]) {
    for (int i = 0; i < ROW_A; i++) {
        for (int j = 0; j < COL_B; j++) {
            result[i][j] = 0; // 初始化结果矩阵元素
            for (int k = 0; k < COL_A; k++) {
                result[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
            }
        }
    }
}

void print_matrix(int rows, int cols, int matrix[rows][cols]) {
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        for (int j = 0; j < cols; j++) {
            printf("%d ", matrix[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
}

int main() {
    int matrix_a[ROW_A][COL_A] = {
        {1, 2},
        {3, 4},
        {5, 6}
    };
    
    int matrix_b[ROW_B][COL_B] = {
        {7, 8, 9},
        {10, 11, 12}
    };
    
    int result[ROW_A][COL_B];
    
    matrix_multiply(matrix_a, matrix_b, result);
    
    printf("Matrix A:\n");
    print_matrix(ROW_A, COL_A, matrix_a);
    
    printf("\nMatrix B:\n");
    print_matrix(ROW_B, COL_B, matrix_b);
    
    printf("\nResult Matrix:\n");
    print_matrix(ROW_A, COL_B, result);
    
    return 0;
}

动态内存分配实现

对于更通用的矩阵乘法，可以使用动态内存分配：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int** matrix_multiply(int** a, int** b, int m, int n, int p) {
    // 分配结果矩阵内存
    int** result = (int**)malloc(m * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        result[i] = (int*)malloc(p * sizeof(int));
    }
    
    // 矩阵乘法计算
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < p; j++) {
            result[i][j] = 0;
            for (int k = 0; k < n; k++) {
                result[i][j] += a[i][k] * b[k][j];
            }
        }
    }
    
    return result;
}

void free_matrix(int** matrix, int rows) {
    for (int i = 0; i < rows; i++) {
        free(matrix[i]);
    }
    free(matrix);
}

int main() {
    int m = 2, n = 3, p = 2;
    
    // 分配并初始化矩阵A
    int** a = (int**)malloc(m * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        a[i] = (int*)malloc(n * sizeof(int));
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            a[i][j] = i + j + 1;
        }
    }
    
    // 分配并初始化矩阵B
    int** b = (int**)malloc(n * sizeof(int*));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        b[i] = (int*)malloc(p * sizeof(int));
        for (int j = 0; j < p; j++) {
            b[i][j] = i + j + 1;
        }
    }
    
    // 计算矩阵乘法
    int** result = matrix_multiply(a, b, m, n, p);
    
    // 输出结果
    printf("Result Matrix:\n");
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        for (int j = 0; j < p; j++) {
            printf("%d ", result[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    // 释放内存
    free_matrix(a, m);
    free_matrix(b, n);
    free_matrix(result, m);
    
    return 0;
}