图像几何变换

图像几何变换是计算机视觉和图像处理领域中的基本操作，用于改变图像中像素的位置，而不改变其颜色或灰度值。常见的几何变换包括平移、缩放、旋转和仿射变换。这些变换在图像配准、图像增强、目标检测等任务中发挥着重要作用。

1. 平移（Translation）

定义：平移是将图像中的所有像素点沿x轴和y轴方向移动一定的距离。

数学表示：

对于图像中的任意一点 ((x, y))，平移后的新位置为：

[
\begin{cases}
x' = x + tx \
y' = y + ty
\end{cases}
]

其中，(tx) 和 (ty) 分别是沿x轴和y轴的平移量。

示例：

将图像向右平移50个像素，向上平移30个像素，则 (tx = 50)，(ty = 30)。

2. 缩放（Scaling）

定义：缩放是改变图像的大小，可以沿x轴和y轴分别进行缩放。

数学表示：

对于图像中的任意一点 ((x, y))，缩放后的新位置为：

[
\begin{cases}
x' = sx \cdot x \
y' = sy \cdot y
\end{cases}
]

其中，(sx) 和 (sy) 分别是沿x轴和y轴的缩放因子。

示例：

将图像在x轴方向放大2倍，在y轴方向缩小0.5倍，则 (sx = 2)，(sy = 0.5)。

3. 旋转（Rotation）

定义：旋转是将图像绕某一点（通常是图像中心）旋转一定的角度。

数学表示：

对于图像中的任意一点 ((x, y))，绕原点旋转 (\theta) 角度后的新位置为：

[
\begin{cases}
x' = x \cdot \cos\theta - y \cdot \sin\theta \
y' = x \cdot \sin\theta + y \cdot \cos\theta
\end{cases}
]

如果旋转中心不是原点，而是 ((cx, cy))，则需要先将点平移到原点，进行旋转，再平移回去：

[
\begin{cases}
x' = (x - cx) \cdot \cos\theta - (y - cy) \cdot \sin\theta + cx \
y' = (x - cx) \cdot \sin\theta + (y - cy) \cdot \cos\theta + cy
\end{cases}
]

示例：

将图像绕其中心旋转45度，则 (\theta = 45^\circ)。

4. 仿射变换（Affine Transformation）

定义：仿射变换是一种更一般的线性变换，它结合了平移、缩放、旋转和剪切（shear）等操作。仿射变换保持直线的平行性，但不保持长度和角度。

数学表示：

仿射变换可以用一个2x2的矩阵和一个平移向量来表示：

[
\begin{bmatrix}
x' \
y'

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
a & b \
c & d
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \
y
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
tx \
ty
\end{bmatrix}
]

其中，矩阵 (\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}) 决定了缩放、旋转和剪切，向量 (\begin{bmatrix} tx \ ty \end{bmatrix}) 决定了平移。

示例：

一个简单的仿射变换可以是：

[
\begin{cases}
x' = 2x + y + 10 \
y' = x - y + 5
\end{cases}
]

这表示图像在x轴方向被拉伸并向右平移，同时在y轴方向被压缩并向上平移，还包含了一定的剪切效果。

实现方法

在编程中，可以使用各种库来实现这些几何变换。例如，在Python中，可以使用OpenCV库：

import cv2
import numpy as np

# 读取图像
image = cv2.imread('image.jpg')

# 平移
rows, cols = image.shape[:2]
M_translation = np.float32([[1, 0, 50], [0, 1, 30]])  # 向右平移50，向上平移30
translated_image = cv2.warpAffine(image, M_translation, (cols, rows))

# 缩放
M_scaling = np.float32([[2, 0, 0], [0, 0.5, 0]])  # x轴放大2倍，y轴缩小0.5倍
scaled_image = cv2.warpAffine(image, M_scaling, (int(cols*2), int(rows*0.5)))

# 旋转
center = (cols/2, rows/2)
M_rotation = cv2.getRotationMatrix2D(center, 45, 1.0)  # 绕中心旋转45度
rotated_image = cv2.warpAffine(image, M_rotation, (cols, rows))

# 仿射变换
M_affine = np.float32([[1, 0.5, 10], [0.5, 1, 5]])  # 自定义仿射变换矩阵
affine_image = cv2.warpAffine(image, M_affine, (cols, rows))