二进制与其他进制转换详解与实例_全面解析转换方法

二进制与其他进制转换详解与实例

一、二进制基础

定义：二进制（Base-2）是仅使用0和1表示数值的进制系统。
位权：每一位的权重为2的幂次方（从右到左依次为2⁰, 2¹, 2², ...）。
示例：二进制数 1011 表示的十进制值为：
[
1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 1 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11
]

二、二进制与十进制的转换

1. 二进制转十进制

方法：按位权展开求和。
示例：
- 二进制 1101 → 十进制：
  [
  1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13
  ]

2. 十进制转二进制

方法：除2取余，逆序排列。
步骤：
1. 将十进制数除以2，记录余数。
2. 重复除以2，直到商为0。
3. 余数逆序排列即为二进制结果。
示例：
- 十进制 23 → 二进制：
  [
  23 \div 2 = 11 \text{ 余 } 1 \
  11 \div 2 = 5 \text{ 余 } 1 \
  5 \div 2 = 2 \text{ 余 } 1 \
  2 \div 2 = 1 \text{ 余 } 0 \
  1 \div 2 = 0 \text{ 余 } 1 \
  \text{逆序排列余数：} 10111
  ]

三、二进制与八进制的转换

1. 二进制转八进制

方法：将二进制数从右到左每3位分组，不足3位时左侧补0，每组转换为对应八进制数。
示例：
- 二进制 1101011 → 八进制：
  [
  \text{分组：} 001 \, 101 \, 011 \quad (\text{补0至3位}) \
  \text{转换：} 1 \, 5 \, 3 \quad \Rightarrow \text{八进制 } 153
  ]

2. 八进制转二进制

方法：将每位八进制数转换为3位二进制数，拼接结果。
示例：
- 八进制 752 → 二进制：
  [
  7 \rightarrow 111, \quad 5 \rightarrow 101, \quad 2 \rightarrow 010 \
  \text{拼接：} 111101010
  ]

四、二进制与十六进制的转换

1. 二进制转十六进制

方法：将二进制数从右到左每4位分组，不足4位时左侧补0，每组转换为对应十六进制数。
示例：
- 二进制 110110111 → 十六进制：
  [
  \text{分组：} 0001 \, 1011 \, 0111 \quad (\text{补0至4位}) \
  \text{转换：} 1 \, B \, 7 \quad \Rightarrow \text{十六进制 } 1B7
  ]

2. 十六进制转二进制

方法：将每位十六进制数转换为4位二进制数，拼接结果。
示例：
- 十六进制 A3F → 二进制：
  [
  A \rightarrow 1010, \quad 3 \rightarrow 0011, \quad F \rightarrow 1111 \
  \text{拼接：} 101000111111
  ]

五、八进制与十六进制的转换

间接方法：通过二进制中转。
- 八进制→十六进制：先转二进制，再分组转十六进制。
- 十六进制→八进制：先转二进制，再分组转八进制。
示例：
- 八进制 375 → 十六进制：
  [
  375 \rightarrow \text{二进制 } 011111101 \
  \text{分组：} 0111 \, 1110 \, 1 \quad (\text{补0至4位}) \
  \text{转换：} 7 \, E \, 1 \quad \Rightarrow \text{十六进制 } 7E1
  ]

六、快速转换技巧

二进制分组法：
- 八进制：每3位一组，对应1位八进制数。
- 十六进制：每4位一组，对应1位十六进制数。
补零规则：分组时不足位数需左侧补0。
对照表记忆：
- 二进制→八进制：000→0, 001→1, ..., 111→7
- 二进制→十六进制：0000→0, 0001→1, ..., 1111→F

七、实例

| 转换类型 | 示例输入 | 转换步骤 | 结果输出 |
|------------------|------------|-----------------------------------|----------|
| 二进制→十进制 | 1011 | (1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0) | 11 |
| 十进制→二进制 | 23 | 除2取余逆序：10111 | 10111 |
| 二进制→八进制 | 1101011 | 分组：001 101 011 → 153 | 153 |
| 八进制→二进制 | 752 | 转换：7→111, 5→101, 2→010 | 111101010 |
| 二进制→十六进制 | 110110111| 分组：0001 1011 0111 → 1B7 | 1B7 |
| 十六进制→二进制 | A3F | 转换：A→1010, 3→0011, F→1111 | 101000111111 |