什么是浮点数？
浮点数（Floating Point Number）是计算机中表示实数（即包含小数部分的数）的一种方式。与整数不同，浮点数可以表示非常大或非常小的数值，以及具有小数精度的数值。浮点数的名称来源于其小数点位置可以“浮动”，即不固定，从而允许表示不同数量级的数值。
浮点数的表示
浮点数在计算机中通常采用IEEE 754标准来表示，该标准定义了浮点数的格式和运算规则。以单精度浮点数（32位）为例，其结构如下：
- 符号位（1位）：表示数值的正负，0为正，1为负。
- 指数位（8位）：表示数值的数量级，采用偏移量表示法（即实际指数值加上一个固定偏移量，如单精度浮点数的偏移量为127）。
- 尾数位（23位）：表示数值的有效数字部分，也称为小数部分或曼蒂萨（Mantissa）。
浮点数的实际值可以通过以下公式计算：
[ \text{值} = (-1)^{\text{符号位}} \times (1 + \text{尾数位}) \times 2^{(\text{指数位} - \text{偏移量})} ]
浮点数的计算
浮点数的计算涉及加法、减法、乘法、除法等基本运算。由于浮点数的表示方式，这些运算在计算机中可能不是完全精确的，存在舍入误差。以下是一些浮点数计算的关键点：
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对齐：在进行加减运算前，需要将两个浮点数的指数部分对齐，即调整它们的数量级，使它们具有相同的指数值。这通常通过移动尾数位并相应调整指数来实现。
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运算：对齐后，对尾数位进行加减运算。乘法运算则直接对尾数位相乘，并相加指数位。除法运算则对尾数位相除，并相减指数位。
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舍入：由于浮点数的尾数位长度有限，运算结果可能需要舍入到最接近的可表示值。舍入方式可以是向零舍入、向最近偶数舍入等，具体取决于IEEE 754标准或编程语言的实现。
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溢出与下溢：如果运算结果超出了浮点数能表示的范围，则会发生溢出（结果变为正无穷大或负无穷大）。如果结果非常接近零且小于浮点数能表示的最小值，则会发生下溢（结果变为零）。
示例
以单精度浮点数为例，假设有两个数：
- 数A：符号位为0（正数），指数位为10000000（即128，实际指数值为128-127=1），尾数位为00000000000000000000000（即0）。
- 数B：符号位为0（正数），指数位为10000001（即129，实际指数值为129-127=2），尾数位为00000000000000000000000（即0）。
则：
- 数A的实际值为 (1.0 \times 2^1 = 2.0)
- 数B的实际值为 (1.0 \times 2^2 = 4.0)
如果进行加法运算，由于指数不同，需要先对齐：
- 将数A的尾数位右移一位（相当于除以2），指数位加1，变为 (0.5 \times 2^2 = 2.0)（实际上尾数位仍为0，因为这里只是说明对齐过程）
- 然后与数B相加，得到 (2.0 + 4.0 = 6.0)
在IEEE 754表示中，6.0会被表示为符号位0，指数位（通过计算得到，假设为10000010即130，实际指数值为130-127=3），尾数位根据6.0的二进制表示（110.0）调整为相应的尾数位（省略前导1，即10000000000000000000000）。
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